EM算法系列(三)-最大似然估计

参考原文:http://blog.csdn.net/sallyyoung_sh/article/details/54630044

1、从故事出发

假设我们做这样一个实验: 假设我们需要调查我们学校的男生的身高分布。你怎么做啊?你说那么多人不可能一个一个去问吧,肯定是抽样了。假设你在校园里随便地活捉了100个男生。他们共100个人(也就是100个身高的样本数据,为了方便表示,下面,我说“人”的意思就是对应的身高)都在教室里面了。那下一步怎么办啊?然后你就先统计抽样得到的100个男生的身高。假设他们的身高是服从高斯分布的。但是这个分布的均值u和方差∂2我们不知道,这两个参数就是我们要估计的。记作θ=[u, ∂]T。

用数学的语言来说就是:在学校那么多男生(身高)中,我们独立地按照概率密度p(x|θ)抽取100了个(身高),组成样本集X,我们想通过样本集X来估计出未知参数θ。这里概率密度p(x|θ)我们知道了是高斯分布N(u,∂)的形式,其中的未知参数是θ=[u, ∂]T。抽到的样本集是X={x1,x2,…,xN},其中xi表示抽到的第i个人的身高,这里N就是100,表示抽到的样本个数。

由于每个样本都是独立地从p(x|θ)中抽取的,换句话说这100个男生中的任何一个,都是我随便捉的,从我的角度来看这些男生之间是没有关系的。那么,我从学校那么多男生中为什么就恰好抽到了这100个人呢?抽到这100个人的概率是多少呢?因为这些男生(的身高)是服从同一个高斯分布p(x|θ)的。那么我抽到男生A(的身高)的概率是p(xA|θ),抽到男生B的概率是p(xB|θ),那因为他们是独立的,所以很明显,我同时抽到男生A和男生B的概率是p(xA|θ)* p(xB|θ),同理,我同时抽到这100个男生的概率就是他们各自概率的乘积了。用数学家的口吻说就是从分布是p(x|θ)的总体样本中抽取到这100个样本的概率,也就是样本集X中各个样本的联合概率,用下式表示:

似然函数

这个概率反映了,在概率密度函数的参数是θ时,得到X这组样本的概率。因为这里X是已知的,也就是说我抽取到的这100个人的身高可以测出来,也就是已知的了。而θ是未知了,则上面这个公式只有θ是未知数,所以它是θ的函数。这个函数放映的是在不同的参数θ取值下,取得当前这个样本集的可能性,因此称为参数θ相对于样本集X的似然函数(likehood function)。记为L(θ)。

这里出现了一个概念,似然函数。还记得我们的目标吗?我们需要在已经抽到这一组样本X的条件下,估计参数θ的值。怎么估计呢?似然函数有啥用呢?那咱们先来了解下似然的概念。

直接举个例子:
某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过。只听一声枪响,野兔应声到下,如果要你推测,这一发命中的子弹是谁打的?你就会想,只发一枪便打中,由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率,看来这一枪是猎人射中的。

回到男生身高那个例子。在学校那么男生中,我一抽就抽到这100个男生(表示身高),而不是其他人,那是不是表示在整个学校中,这100个人(的身高)出现的概率最大啊。那么这个概率怎么表示?哦,就是上面那个似然函数L(θ)。所以,我们就只需要找到一个参数θ,其对应的似然函数L(θ)最大,也就是说抽到这100个男生(的身高)概率最大。这个叫做θ的最大似然估计量,记为:



有时,可以看到L(θ)是连乘的,所以为了便于分析,还可以定义对数似然函数,将其变成连加的:



好了,现在我们知道了,要求θ,只需要使θ的似然函数L(θ)极大化,然后极大值对应的θ就是我们的估计。这里就回到了求最值的问题了。怎么求一个函数的最值?当然是求导,然后让导数为0,那么解这个方程得到的θ就是了(当然,前提是函数L(θ)连续可微)。那如果θ是包含多个参数的向量那怎么处理啊?当然是求L(θ)对所有参数的偏导数,也就是梯度了,那么n个未知的参数,就有n个方程,方程组的解就是似然函数的极值点了,当然就得到这n个参数了。

最大似然估计你可以把它看作是一个反推。多数情况下我们是根据已知条件来推算结果,而最大似然估计是已经知道了结果,然后寻求使该结果出现的可能性最大的条件,以此作为估计值。比如,如果其他条件一定的话,抽烟者发生肺癌的危险时不抽烟者的5倍,那么如果现在我已经知道有个人是肺癌,我想问你这个人抽烟还是不抽烟。你怎么判断?你可能对这个人一无所知,你所知道的只有一件事,那就是抽烟更容易发生肺癌,那么你会猜测这个人不抽烟吗?我相信你更有可能会说,这个人抽烟。为什么?这就是“最大可能”,我只能说他“最有可能”是抽烟的,“他是抽烟的”这一估计值才是“最有可能”得到“肺癌”这样的结果。这就是最大似然估计。

2、最大似然估计

极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。

求最大似然函数估计值的一般步骤:
(1)写出似然函数;
(2)对似然函数取对数,并整理;
(3)求导数,令导数为0,得到似然方程;
(4)解似然方程,得到的参数即为所求;

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