《学习策略研究》第九章数学解题策略研究读书分享

第九章 数学解题策略研究

一、从笛卡儿的“万能方法”到波利亚的“怎样解题”表。(一)弄清问题;(二)拟定计划;(三)实施计划;(四)回顾。1、将问题转化为以前解过的问题。2、“从后向前推”的思维模式;3、解题的关键在于第二步拟定计划,即构思出一个有效的解题策略。

二、解题策略的基本思想——化归

(一)化归的意义:对问题不是实行正面的攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为一个已经能够解决的 问题。化归即转化和归结的意思。它解决的一般模式是:

待解问题 ——转化(归结))————→已能解决或较易解决的问题

↓ ↓

解答←————-还原——-------------------解答

(二)化归的基本原则。

在运用化归思想解题时应包含的三个因素:第一,化归的对象;第二,化归的目标;第三,化归的方法。比如,双二次方程是化归对象,一元二次方程是化归的目标;换元则是化归的方法。

1、模型化原则。双轨迹模型首先把问题归结做一点,然后以暂时降低条件方式处理问题,把已知条件适当分为两款,使得只顾一款而不顾另一款均可产生该点的一个轨迹,且每个轨迹都是直线或圆,则两轨迹的交点即为所求。2、特殊化原则。将一般情形转化为特殊情形是化归目标遵循的一条重要原则。3、低层次原则。求解问题时,通常总是将高层次问题化归为低层次问题。

(三)RMI原理所谓RMI原理是关系映射反演原理的简称。是化归思想在现代数学背景下的进一步发展和形式化。1、该原理的核心思想是:利用两个系统之间的联系、关系 与相似性来解决问题。2、如果系统间的对应不是一一对应,需要增补某些条件后,才能在映象关系结构中解决相应问题。3、在求解较为复杂的问题时,有时可能需要借助多步的RMI原理。4、RMI原理不仅可以被用以得出问题的肯定性解答,而且也可被用以得出问题的否定性解答。

三、化归的方法。

(一)构造法。构造法就是在解题中利用其他已经明确的概念、方法、模式,构造出一个新的辅助性数学对象,使原命题的解答化归为一个与上述数学对象有关的数学命题的解法。1、构造命题。有些命题,条件与结论间的关系比较含糊,可以考虑构造等价命题,使问题变得比较简单易证。2、构造函数。在一些数学问题中,量与量之间的关系总可能存在某种函数关系。3、构造图形。数形结合是一种很重要的解题策略,一些代数问题或三角问题可以用构造与命题条件相对应的几何图形来帮助解题或从几何图形来寻求解答。4、其他构造。构造性解题思路是一种古老的解题方法,它的种类繁多,形式各异。

(二)变换法。1、变量代换。变量代换是指在解题过程中把某些变量的解析表达式用另一些新的变量的解析表达式来代换,从而使原有的问题化归为简单的易解决的问题。2、同构变换。在不改变所讨论的数学对象的本质结构条件下找出对象的最恰当的表现形式,从而使问题得到解决。3、几何变换。应注意:第一,运用几何变换的目的在于使分散的条件集中起来,使隐蔽的条件显露出来,从而化归为简单的问题。第二、应根据问题的条件和结论的几何性质来决定应该采取何种几何变换。

(三)恒量法。1、待定系数法。在求解某一些问题时,表达中有若干个数值尚待确定且这些数值完全确定后,问题就得到解决,这些问题统称为系数待定问题,上述尚待确定的数值则称为待定系数。2、对称性法。3、非负数法。

(四)分类法。有些数学问题,涉及的范围比较宽广。将所涉及的范围进行划分或将不同对象进行分类,使之化归为一些简单的问题分别求解,最终使问题整体解决,这种方法称为分类法。

四、解题研究的新动向。

(一)数学解题概念的扩展

1、这里所指的“题”不再仅限于传统教科书上的例题和习题,它具有更广的内涵。

2、这里所说的“解题”不仅只注重结果、答案,更注重的是解题的过程,以及解题的思维策略。一个成功的“解题”者应具备以下能力:(1)能正确的区分信息;(2)能既快又精确地觉察出问题的数学结构;(3)能通过广泛的一系列的问题的分析解决,将问题一般化、模式化。(4)能长期记忆问题的数学结构。

3、解题的手段不再仅限于一张纸、一支笔,而发展为可建立数学实验室,在计算机上进行模拟实验。

(二)关于解题过程中的元认知的研究。解题过程的元认知是指解题者对于自身所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调节。

(三)错误观念对解题的影响的研究。所谓观念在此是指解题者的数学观、数学教育观以及对自我解题能力的认识估价等,这些观念对于解题活动有着十分重要的影响。

就思维训练而言,多余条件的存在对提高学生信息区分能力是十分有效的。条件的缺乏实际上是向学生提出了新的挑战——不仅要去发现必要条件,而且在条件不够充分的情况下,要能确定解的可能范围。此外,对自己不抱信心,也是解题的极大障碍。一些学生解题失败,并不是相应的知识与能力,而是缺乏信心、缺乏知难而进的探索精神。

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